Método de punto fijo

Una función tiene un punto fijo si existe un valor para el cual \(g(x) = x\), es decir, la función corta con la recta \(y = x\).

Teorema de Existencia y Unicidad

• Si \(g \in C[a, b]\) y \(g(x) \in [a, b]\) para todo \(x \in [a, b]\), entonces \(g\) tiene al menos un punto fijo en \([a, b]\).
• Si además \(|g^\prime(x)| \le k < 1\) para todo \(x \in (a, b)\), entonces el punto fijo es único.

Ejemplo

Si tenemos la función \(f(x) = x^3 + 4x^2 - 10\), queremos hallar \(x\) tal que \(f(x) = 0\). Podemos construir varias funciones \(g(x)\):

1. \(x = \frac{10}{x^2+4x}\)
2. \(x = \sqrt{\frac{10-x^3}{4}}\)
3. \(x = x^3 + 4x^2 - 10 + x\)
4. \(x = \sqrt[3]{10-4x^2}\)

En este caso, si se comienza a iterar, \(g_2(x)\) es la que funciona correctamente para el rango deseado ya que su derivada cumple con la condición de convergencia.