Diferenciación numerica

Podemos ver que:

\[ f^\prime(x_0) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} -\frac{h}{2}f^{\prime\prime}(\xi(x)) \tag{2} \]

Cuando \(h > 0\) se denominan diferencias hacía delante y de forma analoga se puede decir cuando \(h < 0\) se denomina diferencias hacía atras.

Se puede tomar de manera general el caso de \(3\) puntos, si tenemos \(x_0, x_1, x_2 \in [a, b]\), estos puntos deben pertenecer a \(f \in C^3[a, b]\) y tenemos que asegurar que: \(x_1 = x_0 + h\) y \(x_2 = x_0 + 2h\) para que la vida sea mas facil.

Podemos construir los polinomios de Lagrange y sus respectivas derivadas:

  • \(L_0 = \frac{(x-x_1)(x - x_2)}{(x_0-x_1)(x_0 - x_2)}, L^\prime_0 = \frac{(x - x_2) + (x-x_1)}{(x_0-x_1)(x_0 - x_2)}\)
  • \(L_1 = \frac{(x-x_0)(x - x_2)}{(x_1-x_0)(x_1 - x_2)}, L^\prime_1 = \frac{(x - x_2) + (x-x_0)}{(x_1-x_0)(x_1 - x_2)}\)
  • \(L_2 = \frac{(x-x_0)(x - x_1)}{(x_2-x_0)(x_2 - x_1)}, L^\prime_2 = \frac{(x - x_1) + (x-x_2)}{(x_2-x_0)(x_2 - x_1)}\)

Podemos recordar que:

\[ f(x) = \sum_{i = 0}^n f(x_i)L_i + \left(\prod_{i = 0}^n(x-x_i)\right)\frac{f^{n+1}(\xi(x))}{(n+1)!} \]

Y de igual manera, podemos ver que

\[ f^\prime(x) = \sum_{i = 0}^n f(x_i)L^\prime_i + \frac{d}{dx}\left[\left(\prod_{i = 0}^n(x-x_i)\right)\frac{f^{n+1}(\xi(x))}{(n+1)!}\right] \]

Podemos expresar todos los puntos en términos de \(x_0\) con sus diferencias de \(h\). Es decir \(x_1 = x_0 + h\) y \(x_2 = x_0 + 2h\), luego podemos ver que nos queda de la siguiente manera:

\[ f^\prime(x_0) = \frac{1}{2h}\left[-3f(x_0)+4f(x_0 + h) - f(x_0 + 2h)\right] + \frac{h^2}{3}f^{\prime\prime\prime}(\xi(x_0)) \tag{3} \]

Esta se le conoce como \(3\) puntos en el extremo. de igual manera podemos ver que:

\[ f^\prime(x_0) = \frac{1}{2h}[f(x_0 + h) - f(x_0 - h)] - \frac{h^2}{6}f^{\prime\prime\prime}(\xi(x_0)) \tag{3} \]

Se le llama \(3\) puntos en el medio, de igual manera se puede ver que:

\[ f^\prime(x_0) = \frac{1}{-2h}[3f(x_0 - 2h)-4f(x_0 -h) + f(x_0)] + \frac{h^2}{3}f^{\prime\prime\prime}(\xi(x_0)) \tag{3} \]

Se le puede decir \(3\) puntos hacía atras.

De igual manera podemos extraer la formulas para \(5\) puntos, en este caso, cinco puntos en el medio:

\[ f^\prime(x_0) = \frac{1}{12h}[f(x_0 - 2h) - 8f(x_0 -h) + 8f(x_0 + h) - f(x_0 + 2h)]+\frac{h^4}{30}f^5(\xi(x_0)) \tag{5} \]

De igual manera, se puede definir para cinco puntos hacia adelante

\[ f^\prime(x_0) = \frac{1}{12h}[-25f(x_0) + 48f(x_0 + h) - 36f(x_0 + 2h) + 16f(x_0 + 3h) - 3f(x_0 + 4h)] + \frac{h^4}{5}f^5(\xi(x_0)) \tag{5} \]

Podemos ver que podemos derivar la formula para el punto medio para la segunda derivada para tres puntos.

\[ f^{\prime\prime}(x_0) = \frac{1}{h^2}[f(x_0 - h) - 2f(x_0) + f(x_0 + h)] - \frac{h^2}{24}f^{4}(\xi(x)) \]