Metodo de Euler

En el caso que tenemos que \(\frac{dy}{dt} = f(t, y)\) con \(a \le t \le b\) y teniendo la condición inicial \(y(a) = \alpha\), entonces podemos tomar la analogía de ir dando pasos para poder encontrar la solución a partir de la condición inicial, podemos establecer un tamaño del salto \(h = \frac{b-a}{N}\) donde \(N\) es la cantidad de pasos que vamos a hacer y podemos definir cada uno de los tiempos de los pasos como: \(t_{i} = a + h_i\).

Dado el teorema de Taylor centrado en \(t_i\) y evaluado en \(t_{i+1}\) podemos ver que:

\[ y(t) = y(t_i) + y^\prime(t_i)(t - t_i) + \frac{y^{\prime\prime}(\xi(t))(t-t_i)^2}{2!} \]

Cuando lo evaluamos en \(t_{i + 1}\).

\[ y(t_i + 1) = y(t_i) + y^\prime(t_i)(t_{i+1}- t_i) + y^{\prime\prime}(\xi(t_{i+1}))(t_{i+1} - t_i)^2\cdot \frac{1}{2!} \]

Sin embargo, si tomamos \(h = t_{i+1} - t_i\) y \(y = \omega\) podemos ver que el metodo de Euler queda de la forma:

\[ \omega_{i+1} = w_i + hf(t, y) + \frac{h^2}{2}y^{\prime\prime}(\xi(t_{i+1})) \tag{*} \]